ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115315
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Геометрические неравенства ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, AC и BC треугольника ABC взяли точки K, L и M соответственно так, что  ∠A = ∠KLM = ∠C.
Докажите, что если  AL + LM + MB > CL + LK + KB,  то  LM < LK.


Решение

  ∠MLC = 180° – ∠KLM – ∠ALK = 180° – ∠A – ∠ALK = ∠AKL.
  Значит, треугольники CLM и AKL подобны по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен k.
  По условию  AL + LM + BC – CM > CL + LK + AB – AK  ⇒  AL + AK – LK > CL + CM – LM = k(AK + AL – KL).

  Значит,  k < 1.  Следовательно,  LM = kKL < KL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3421

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .