Задача 115321

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и  ∠DEF = 90°.
Докажите, что  ∠ADE = ∠EDF.

Решение

Через точку F параллельно стороне AB проведём прямую до пересечения со стороной AC в точке P. По теореме о пропорциональных отрезках
CP = ^AC/₃,  поэтому и  PE = ^AC/₃.  Значит, E – середина отрезка AP. Продолжим катет FE до пересечения с прямой AB в точке K. Треугольники AKE и PFE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому E – середина отрезка KF. Таким образом, высота DE треугольника KDF является его медианой, а значит, и биссектрисой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6325