ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 115323
Условие
Даны непересекающиеся окружности S1 и S2 и
их общие внешние касательные l1 и l2 . На
l1 между точками касания отметили точку A , а
на l2 — точки B и C так, что AB и AC —
касательные к S1 и S2 . Пусть O1 и
O2 — центры окружностей S1 и S2 ,
а K — точка касания вневписанной окружности
треугольника ABC со стороной BC . Докажите, что
середина отрезка O1O2 равноудалена от точек
A и K .
Решение
Пусть окружность S1 касается прямых l1 и
l2 в точках соответственно A1 и B1 ,
а окружность S2 — в точках соответственно A2
и C1 , D — точка касания окружности S1 с
отрезком AB , E — точка касания окружности S2
с отрезком AC . Тогда
Отсюда Поэтому AA2=B1K . Пусть P — середина O1O2 . Тогда перпендикуляр PM , опущенный из точки P на A1A2 , — средняя линия прямоугольной трапеции A1O1O2A2 . Следовательно, PM — серединный перпендикуляр к стороне A1A2 равнобедренной трапеции A1A2C1B1 , значит, P — центр описанной окружности этой трапеции. Поэтому PA1=PA2=PB1=PC1 . Равнобедренные треугольники PA1A2 и PB1C1 равны по трём сторонам, а т.к. AA2=B1K , то PA и PK — соответствующие отрезки этих равных треугольников. Следовательно, PA=PK . Что и требовалось доказать. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке