Задача 115329

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через вершины A и B остроугольного треугольника ABC проведена окружность, пересекающая сторону AC в точке X , а сторону BC — в точке Y . Оказалось, что эта окружность проходит через центр описанной окружности треугольника XCY . Отрезки AY и BX пересекаются в точке P . Известно, что ACB = 2 APX . Найдите угол ACB .

Решение

Пусть O — центр описанной окружности s треугольника XCY , s1 — окружность, проходящая через точки A , B , X и Y . Обозначим APX = a . Тогда

XCY = ACB = 2a, XOY = 2 XCY = 4a
(центральный угол XOY окружности s вдвое больше вписанного угла XCY ). Вписанный в окружность s1 угол XOY опирается на дугу XABY , значит, эта дуга равна 8a , а т.к. сумма меньших дуг AX и BY вдвое больше угла APX , равного a , то большая дуга AB равна 8a - 2a = 6a . Значит, AXB = 3a . Из вписанного четырёхугольника BYOX находим, что
XBY = 180^o- XOY = 180^o-4a.
По теореме о внешнем угле треугольника AXB = ACB + XBY , или
3a = 2a + (180^o-4a),
откуда находим, что a = = 36^o . Следовательно, ACB = 2a = 72^o .

Ответ

72^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6333