Задача 115330

Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка X . Лучи AX , BX и CX пересекают описанную около треугольника ABC окружность в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Точка A2 симметрична точке A1 относительно середины стороны BC . Аналогично определяются точки B2 и C2 . Докажите, что найдётся такая фиксированная точка Y , не зависящая от выбора X , что точки Y , A2 , B2 и C2 лежат на одной окружности.

Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC . Определим точку H равенством =+ + (точка H является ортоцентром треугольника ABC , но нам это не понадобится). Докажем, что H — это искомая точка Y , т.е., что точки H , A2 , B2 и C2 лежат на одной окружности. Пусть K — вершина параллелограмма OA1KA2 . Тогда OBKC — также параллелограмм. Поэтому

== += +(+)= -+(-)= -(+).
Аналогично,
= -(+), = -(+).
Пусть A3 , B3 и C3 — середины хорд AA1 , BB1 и CC1 . Тогда отрезок OX виден из точек A3 , B3 и C3 под прямым углом. Следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром OX . При гомотетии с центром O и коэффициентом -2 точки A3 , B3 и C3 перейдут в некоторые точки A4 , B4 и C4 , причём эти точки и точка O лежат на одной окружности, а также
= -2= -(+)= -,

= -2= -(+)= -,

= -2= -(+)= -.
При параллельном переносе на вектор точка O перейдёт в точку H , а точки A4 , B4 и C4 — в точки A2 , B2 и C2 . Следовательно, точки H , A2 , B2 и C2 лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6334