Задача 115331

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Обозначим через L основание биссектрисы угла B, а через K – точку пересечения прямых B₁I и A₁C₁. Докажите, что  KL || BB₁.

Решение

  Рассмотрим случай, когда точка L лежит на отрезке B₁C. Пусть прямые BI и A₁C₁ пересекаются в точке M. Тогда BM – биссектриса (и, значит, высота) равнобедренного треугольника A₁BC₁. Радиус IB₁ перпендикулярен касательной AC. Таким образом, точки M и B₁ лежат на окружности с диаметром KL. Вписанные в эту окружность углы KLM и KB₁M равны. Осталось доказать, что  ∠KB₁M = ∠IBB₁.
  C₁M – высота прямоугольного треугольника BIC₁, проведённая из вершины прямого угла. Значит,     откуда
IB₁ : IM = IB : YB₁.  Поэтому треугольники B₁IM и BIB₁ подобны по двум сторонам и углу между ними, значит,  ∠KB₁M = ∠IB₁M = ∠IBB₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6335