|
|
 |
Условие
Дан равнобедренный треугольник ABC ( AB=BC ).
Выбрана точка X на стороне AC . Окружность проходит
через точку X , касается стороны AC и пересекает
описанную окружность треугольника ABC в таких
точках M и N , что прямая MN делит отрезок BX
пополам и пересекает стороны AB и BC в точках
P и Q . Докажите, что описанная окружность
треугольника BPQ проходит через центр описанной
окружности треугольника ABC .
Решение
Пусть T — середина отрезка BX , O — центр описанной
окружности s треугольника ABC , s1 —
заданная в условии окружность, касающаяся AC в точке X .
При симметрии относительно точки T вершина B переходит
в точку X , окружность s — в окружность, касающуюся
AC в точке X , имеющую с s общую хорду и проходящую
через точку X , т.е. в окружность s1 .
Пусть A1 и C1 — точки, симметричные относительно
T вершинам соответственно A и C , Тогда
ABA1X — параллелограмм, поэтому BA1 || AX
и A1X || AB . Если Q1 — точка пересечения
прямых BC и XA1 , то треугольники A1Q1B и XQ1C
равнобедренные, т.к. они подобны равнобедренному треугольнику
ABC . Тогда A1Q1=Q1B и XQ1=Q1C , значит,
A1Q1· Q1X = BQ1· Q1C , т.е. точка Q1
имеет одинаковые степени относительно окружностей s1
и s . Следовательно, точка Q1 лежит на общей хорде
MN этих окружностей, а т.к. единственная общая точка прямых
BC и MN — это точка Q , то точка Q1 совпадает
с Q . Аналогично, точка пересечения XC1 и AB — точка
P . Тогда PBQX — параллелограмм, поэтому CQ=QX=BP .
Треугольники OCQ и OBP равны по двум сторонам ( OC=OB как
радиусы окружности s , CQ=BP по доказанному) и углу
между ними ( OCQ=
OCB =
OBA =
OBP ,
т.к. треугольники ABC и BOC — равнобедренные). Тогда
значит, четырёхугольник OPBQ — вписанный. Следовательно, описанная окружность треугольника BPQ проходит через точку O . Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6336 |
