Задача 115337

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E, а на отрезке BE – точка F. Оказалось, что  AC = BD,  2∠ACF = ∠ADB,  2∠CAF = ∠CDB.
Докажите, что  AD = CE.

Решение

Обозначим  ∠ACF = α,  ∠CAF = γ.  Тогда  ∠ADB = 2γ,  ∠CDB = 2α,  а так как  2α + 2γ = 180°,  то  α + γ = 90°.  Значит, ∠AFC = 90°.  Проведём медиану FK прямоугольного треугольника AFC.  FK = AK = KC  и  ∠AKF = 2γ = ∠ADB.  Поэтому  FK || BD  и  FK = ½ AC = ½ BD,  значит, KF – средняя линия треугольника BDE. Следовательно,  AD = AK – KD = CK – KE = CE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6341