Задача 115340

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка O — центр описанной окружности вписанного четырёхугольника ABCD . Известно, что ABC > ADC и AOC = BAD = 110^o . Докажите, что AB+AD>CD .

Решение

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180^o и ABC> ADC , поэтому

ADC = 180^o- ABC = 180^o - = 180^o - (360^o- ABC) =

=180^o - (360^o- AOC)= AOC = · 110^o= 55^o, ABC = 180^o-55^o = 125^o.
Тогда
ABC + BAD = 125^o+110^o> 180^o,
значит, продолжения сторон AD и BC за точки A и B пересекаются в некоторой точке K , причём эта точка и четырёхугольник ABCD лежат по разные стороны от прямой AB . В треугольнике AKB известно, что
KAB = 180^o- DAB = 180^o-110^o= 70^o,

KBA = 180^o- ABC = 180^o-125^o= 55^o,

AKB = 180^o- 70^o-55^o= 55^o,
значит, этот треугольник — равнобедренный, AK=AB . В треугольнике CKD известно, что
CKD = 55^o, DCK = KAB = 70^o> CKD,
значит, DK>CD , а т.к. DK=AD+AK=AD+AB , то AB+AD>CD . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6344