Задача 115341

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан вписанный четырёхугольник ABCD . Пусть s1 — окружность, проходящая через точки A и B и касающаяся прямой AC , а s2 — окружность, проходящая через точки C и D и касающаяся AC . Докажите, что прямые AC , BD и вторая общая внутренняя касательная к окружностям s1 и s2 проходят через одну точку.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD , E — отличная от D точка пересечения прямой BD с окружностью S2 . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

ACE = CDE = CDB = CAB
(вписанные в окружность углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу). Значит, CE || AB . При гомотетии с центром O , переводящей точку C в точку A , точка E переходит в B , причём коэффициент этой гомотетии отрицателен. Окружность s2 переходит в некоторую окружность s , проходящую через точки A и B . Градусная мера дуги AB окружности s1 равна градусной мере дуги CE окружности s2 , т.к.
AB = 2 BAC = 2 BDC = 2 EDC= CE.
Поэтому окружность s1 совпадает с s . Таким образом, окружности s2 и s1 гомотетичны с центром O и отрицательным коэффициентом, модуль которого равен отношению радиусов окружностей. Следовательно, общие внутренние касательные окружностей s1 и s2 пересекаются в точке O . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6345