ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115350
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храмцов Д.

В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса каждых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.


Решение

Ясно, что веса всех гирь, стоящих на нечётных местах, имеют одинаковую чётность, а веса всех остальных гирь – другую чётность. Так как общий вес чётен, то 1005 гирь на нечётных местах имеют чётные веса. Поставим первую гирьку на левую чашку весов (пусть её вес равен  2a ≤ 1000 г),  остальные 2008 гирь разобьём на 1004 пары стоящих рядом гирек (тогда веса гирек в любой паре отличаются на 1 г). Теперь в некоторых  502 – a  парах поставим более лёгкие гири каждой пары на правую чашку весов, а более тяжёлые – на левую; в остальных же  502 + a  парах поставим лёгкие гири на левую чашку, а тяжёлые – на правую. Разность суммарных весов гирь на левой и правой чашках будет равна  2a + (502 – a) – (502 + a) = 0,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .