|
|
 |
Условие
В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса каждых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.
Решение
Ясно, что веса всех гирь, стоящих на нечётных местах, имеют одинаковую чётность, а веса всех остальных гирь – другую чётность. Так как общий вес чётен, то 1005 гирь на нечётных местах имеют чётные веса. Поставим первую гирьку на левую чашку весов (пусть её вес равен 2a ≤ 1000 г), остальные 2008 гирь разобьём на 1004 пары стоящих рядом гирек (тогда веса гирек в любой паре отличаются на 1 г). Теперь в некоторых 502 – a парах поставим более лёгкие гири каждой пары на правую чашку весов, а более тяжёлые – на левую; в остальных же 502 + a парах поставим лёгкие гири на левую чашку, а тяжёлые – на правую. Разность суммарных весов гирь на левой и правой чашках будет равна 2a + (502 – a) – (502 + a) = 0, что и требовалось.
