ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115354
Темы:    [ Неравенства с объемами ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Объем тела равен сумме объемов его частей ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA .

Решение

Пусть X  — точка пересечения луча SO с плоскостью ABCD (см. рис.). Так как точка O лежит внутри пирамиды, то точка X лежит внутри ее основания. При этом SXAB + SXCD = SXBC + SXDA (одно из возможных доказательств этого факта усматривается из рис. — каждая из сумм равна половине площади параллелограмма ABCD ). Следовательно,
VXSAB + VXSCD = VXSBC + VXSDA , (1)
так как высота этих пирамид, опущенная из вершины S , общая. Аналогично,
VXOAB + VXOCD = VXOBC + VXODA . (2)
Вычитая из равенства (1) равенство (2), получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.4.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .