Задача 115354

Темы:    [ Неравенства с объемами ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA .

Решение

Пусть X  — точка пересечения луча SO с плоскостью ABCD (см. рис.). Так как точка O лежит внутри пирамиды, то точка X лежит внутри ее основания. При этом S_XAB + S_XCD = S_XBC + S_XDA (одно из возможных доказательств этого факта усматривается из рис. — каждая из сумм равна половине площади параллелограмма ABCD ). Следовательно,
V_XSAB + V_XSCD = V_XSBC + V_XSDA , (1)
так как высота этих пирамид, опущенная из вершины S , общая. Аналогично,
V_XOAB + V_XOCD = V_XOBC + V_XODA . (2)
Вычитая из равенства (1) равенство (2), получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2009-2010
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.6