ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115357
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)


Решение

Предположим, что это произошло. Так как скорости постоянны, каждые два лыжника встречались не более одного раза. Лыжник, стартовавший первым, не мог никого обогнать; значит, его обогнали четверо, и он пришел пятым. С другой стороны, лыжника, стартовавшего последним, никто не мог обогнать, поэтому он сам обогнал четверых и также пришел пятым. Противоречие.


Ответ

Не могло.

Замечания

См. также задачу 115366.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.1
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .