Задача 115359

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Углы между биссектрисами ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.

Решение

Для решения задачи достаточно установить, что MAI = MNI (см. рис.) Пусть K  — середина отрезка AD . Заметим, что MNI = KNI = 90^o - KIN = 90^o - ( ACI + CAI) = (180^o - ( ACB + BAC)) = ABC .
Остаётся установить, что MAI = ABC . Пусть M'  — точка пересечения окружности, описанной около треугольника ABD , с серединным перпендикуляром к отрезку AD (точка M' лежит на дуге AD , не содержащей точку B ). Тогда AM' = DM' , а значит, и M'BD = M'BA , как опирающиеся на равные дуги. Это означает, что точка M' лежит на биссектрисе угла ABC и, следовательно, M' совпадает с M . Итак, точки A , M , D и B лежат на одной окружности, откуда MAI = MBD = ABC , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2009-2010
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.3