ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115389
Темы:    [ Неравенства с объемами ]
[ Объем тела равен сумме объемов его частей ]
[ Касающиеся сферы ]
[ Шар и его части ]
[ Объем шара, сегмента и проч. ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую — один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одного и того же материала.)

Решение

Заметим, что два меньших шара, если их поставить рядом, поместятся внутрь большого. Значит, их суммарный объем меньше.




Комментарий. Хотя на картинке и видно, что два маленьких шара не вылезают за границы большого, докажем это. Пусть, например, точка  A лежит внутри шара с радиусом  5 . Проверим, что она попадает внутрь большого шара, т. е. что AO3 8 . Но действительно, по неравенству треугольника
AO3 AO2+O2O3 R1+(R3-R1)=R3.


Имеется у задачи и алгебраическое решение, основанное на том, что (R1+R2)3 > R13+R23 (см. тж. следующую задачу).

Ответ

Перевесит правая чаша весов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2009
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .