Задача 115389

Темы:    [ Неравенства с объемами ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Касающиеся сферы ] [ Шар и его части ] [ Объем шара, сегмента и проч. ] [ Взвешивания ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую — один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одного и того же материала.)

Решение

Заметим, что два меньших шара, если их поставить рядом, поместятся внутрь большого. Значит, их суммарный объем меньше.

Комментарий. Хотя на картинке и видно, что два маленьких шара не вылезают за границы большого, докажем это. Пусть, например, точка  A лежит внутри шара с радиусом  5 . Проверим, что она попадает внутрь большого шара, т. е. что AO₃ 8 . Но действительно, по неравенству треугольника
AO₃ AO₂+O₂O₃ R₁+(R₃-R₁)=R₃.

Имеется у задачи и алгебраическое решение, основанное на том, что (R₁+R₂)³ > R₁³+R₂³ (см. тж. следующую задачу).

Ответ

Перевесит правая чаша весов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2009
задача
Номер	5