Задача 115394
|
|
 |
Условие
Двое играют на треугольной доске (см. рис.), закрашивая по очереди на ней треугольные клеточки. Одна клетка (начальная) уже закрашена перед началом игры.Первым ходом закрашивается клеточка, граничащая (по стороне) с начальной, а каждым следующим ходом — клетка, граничащая с только что закрашенной. Повторно клетки красить нельзя. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?
Рассмотрите случаи:
а) Начальная клетка — угловая, поле любого размера;
б) Поле и начальная клетка как на рисунке к этому заданию;
в) Общий случай: поле любого размера, и начальная клетка в нём произвольная.
г) Дополнительное задание. Можно подумать, что начальная клетка определяет исход партии независимо от действий игроков. Нарисуйте, однако, на каком-нибудь поле примеры таких двух партий с одной и той же начальной клеткой, чтобы в первой побеждал начинающий, а во второй — его партнёр. Для удобства нумеруйте клетки: начальная — 0, первым ходом красится клетка 1, вторым — 2 и т. д.
Решение
В пункте "а" побеждает второй игрок. После хода первого игрока (единственно возможного), ему следует закрасить клетку, примыкающую к стороне. Ход первого вынужден, второй снова красит клетку у стороны и в конце концов побеждает, крася угловую клетку.Нетрудно понять, что в пункте "б", наоборот, победит первый игрок. Не приводя специально решения пункта "б", разберём общий случай.
в) То, кто будет победителем зависит от начальной клетки. Раскрасим клетки как на рисунке 1, в шахматном порядке, так, чтобы клетки вида Δ были белыми, а клетки вида ∇ — чёрными.
Покажем, что если начальная клетка чёрная, начинающий побеждает. Разделим поле на "слои" (см. рис. 2). Начинающий должен всегда закрашивать клетку, оставаясь в текущем слое. При этом соперник либо тоже будет оставаться в этом слое (и тогда они вскоре доберутся до угла слоя), либо уйдёт во внешний слой. (Из угла он в любом случае уходит во внешний слой.) В конце концов первый игрок закрасит угловую клетку поля и победит.
Решение дополнительного задания показано на рисунках 3 и 4. Поле и начальная клетка взяты как в пункте "б". Согласно теории, победить должен первый игрок, что и проиллюстрировано рисунком 3. Последний, седьмой ход в угол делает первый игрок. Но если бы первый игрок играл "как попало", он мог бы и проиграть: на правом рисунке после 10-го хода второго первый терпит поражение.
