ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115408
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?


Решение

  Обозначим нашу последовательность (an). Ясно, что  a1 < 1005·1006·97N = D  при некотором натуральном N. Тогда найдётся такое n, что  an ≤ D,  но  an+1 > D  (при этом  an ≠ D  по условию). Но наибольшими числами, меньшими D и кратными 1005 и 1006, являются числа  D – 1005  и  D – 1006,  соответственно; поэтому  an ≤ D – 1005.  Аналогично  an+1D + 1005;  отсюда  an+1an ≥ (D + 1005) – (D – 1005) = 2010.  Значит, и  k ≥ 2010.
  При  k = 2010  подходит, например, последовательность всех чисел, кратных 1005, но не кратных 97 (заметим, что 1005 не кратно 97).


Ответ

k = 2010.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008-2009
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .