|
|
 |
Условие
Числа a, b и c таковы, что (a + b)(b + c)(c + a) = abc, (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³. Докажите, что abc = 0.
Решение
Заметим сначала, что x² – xy + y² > |xy| для любых различных чисел x и y.
Предположим, что abc ≠ 0. Тогда, разделив второе равенство на первое, получим (a² – ab + b²)(b² – bc + c²)(c² – ca + a²) = |ab|· |bc|·|ac|.
Все скобки слева и все множители справа положительны; при этом каждый множитель слева не меньше соответствующего множителя справа.
Поэтому равенство может достигаться лишь тогда, когда все эти три неравенства обращаются в равенства, то есть когда a = b = c. В этом случае первое равенство из условия принимает вид 8a³ = a³, что невозможно при a ≠ 0. Значит, наше предположение неверно, и abc = 0.
