Задача 115451

Темы:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Пусть α , β , γ и δ  — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?

Решение

Рассмотрим, например, четверку чисел: 28 , 50 , 110 , 172 . Выпуклый четырехугольник с такими углами существует, поскольку их сумма равна 360 и каждое из чисел меньше, чем 180 .
При этом, для каждой тройки из этих четырех чисел неравенство треугольника не выполняется: 28 + 50 < 110 < 172 ; 28 + 110 < 172 ; 50 + 110 < 172 .
Понятно, что существует много других примеров (в том числе, и не целых).

Ответ

нет, не всегда.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.4.10.2