ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115458
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O . Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке М на основании AD . Докажите, что треугольник BMC равнобедренный.

Решение

Первый способ. По теореме об углах, вписанных в окружность, OBM= OAM (см. рис.). По определению трапеции OAM= OCB . Таким образом, OBM= OCB . Аналогично доказывается, что OСM= OBC . Складывая полученные равенства, найдём, что MBC= MCB , то есть, BM=CM .





Второй способ. Рассмотрим цепочку равенств: CBM= BMA= BOA= COD= CMD= BCM (см. рис.). Первое и пятое равенства вытекают из параллельности оснований трапеции, второе и четвёртое — из свойства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, третье — равенство вертикальных углов. Из доказанного вытекает, что CBM= BCM , то есть, BM=CM .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2009
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .