Задача 115560

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что  BM : MN = 1 : 5.  Найдите BC, если  AB = 3.

Решение

  Рассмотрим случай, когда AM и DN – биссектрисы углов при вершинах A и D параллелограмма ABCD (рис. слева).
  Треугольник ABM – равнобедренный, так как  ∠AMB = ∠MAD = ∠BAM,  поэтому  BM = AB = 3.  Тогда  MN = 15.  Аналогично, треугольник DCN – также равнобедренный и  CN = CD = AB = 3.  Следовательно,  BC = BM + MN + CN = 3 + 15 + 3 = 21.

  Пусть теперь биссектрисы углов при основании AD – это лучи AN и DM (рис. справа). Тогда треугольники ABN и DCN – равнобедренные,
CM = CD = AB = 3,  BN = AB = 3.  Тогда  BM = ½,  BC = BM + CM = 3,5.

Ответ

21 или 3,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3334