Задача 115566

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан параллелограмм со сторонами 1 и 2 и острым углом 60°. На двух его противоположных сторонах как на основаниях построены вне параллелограмма равнобедренные треугольники с углами 120° при вершинах. Найдите расстояние между этими вершинами.

Решение

Пусть угол при вершине A параллелограмма ABCD равен 60°;  M i> AB=1 , BC=2 . В равнобедренных треугольниках ADE и BCF известно, что
AED = BFC = 120^o, AE=DE=BF=FC= = .

Заметим, что четырёхугольник BEDF — параллелограмм, т.к. его противоположные стороны BF и DE равны и параллельны. Значит, его диагональ EF проходит через середину O диагонали BD , т.е. через центр параллелограмма ABCD .
В треугольнике ABD сторона AB вдвое меньше стороны AD , а BAD = 60^o , поэтому ABD = 90^o . Тогда

BD=AB· tg 60^o=1· = , BO = BD = ,

CBD = ABC - ABD = 120^o-90^o= 30^o,

DBF = CBD+ CBF = 30^o+30^o= 60^o.
Из треугольника OBF по теореме косинусов находим, что
OF = = = .
Следовательно,
EF=2OF = 2=.

Рассмотрим теперь равнобедренные треугольники ALB и CKD с углами 120^o при вершинах L и K . Рассуждая аналогично, докажем, что O — середина KL . Из треугольника OKD по теореме косинусов найдём, что
OK = = = .
Следовательно,
KL=2OK = 2=.

Ответ

; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3422