Задача 115568

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Радиус окружности с центром O равен 2 . В сектор AOB с углом 45^o , вписан прямоугольник KLMN . Сторона KL расположена на отрезке OA , вершина M — на дуге AB , а вершина N — на отрезке OB . Найдите стороны прямоугольника, если одна из них вдвое больше другой. радиус.

Решение

Пусть KL=2KN . Обозначим KN = LM = x . Из прямоугольных треугольников OKN и OLM находим, что

OK = KN=x, OM2= OL2+LM2 = (OK+KL)2+LM2= (x+2x)2+x2 = 9x2+x2 = 10x2,
а т.к. OM2 = (2)2 = 40 , то 10x2=40 . Отсюда находим, что x = 2 . Следовательно, KN=LM = 2 и KL=MN=4 .
Если же KN=2KL , то аналогично получим, что KN=LM = 4 и KL=MN=2 .

Ответ

2; 4 или 4 ; 2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3424