Задача 115570

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60^o . Найдите биссектрису тругольника, проведённую из вершины этого угла.

Решение

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC , в котором AB=6 , AC=3 , BAC = 60^o .


Обозначим AD=x . Тогда

S_{Δ ABC}= AB· AC sin 60^o= · 6· 3· = .
С другой стороны,
S_{Δ ABC}=S_{Δ ABD}+S_{Δ ACD}= AB· AD sin 30^o+ AC· AD sin 30^o= · 6· x· + · 3· x· = x.
Из уравнения x= находим, что x=2 .


Заметим, что треугольник ABC прямоугольный. Тогда треугольник ACD также прямоугольный, причём CAD = 30^o . Следовательно,
AD= = = 2.

Ответ

2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3301