Задача 115572

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Из точки M , лежащей вне окружности с центром O и радиусом R , проведены касательные MA и MB ( A и B — точки касания). Прямые OA и MB пересекаются в точке C . Найдите OC , если известно, что отрезок OM делится окружностью пополам.

Решение

Пусть K — точка пересечения окружности с отрезком OM . Тогда OM=2OK=2R . В прямоугольном треугольнике OAM катет OA вдвое меньше гипотенузы OM , значит, AMO = 30^o , а т.к. MO — биссектриса угла AMC , то AMC=60^o . Из прямоугольного треугольника MAC находим, что ACM = 30^o , значит, треугольник MOC — равнобедренный. Следовательно, OC=OM = 2R .

Ответ

2R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3303