Задача 115580

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  AB = 18,  BC = 16,  cos∠B = ⁴/₉,  AH – высота. Через точку H, проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону AB в точке M. Найдите HM.

Решение

  BH = AB cos∠B = 8 = ½ BC,  поэтому треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.
  Существует два случая расположения точки M на стороне AB.
  1)  ∠BHM = ∠C. Тогда  HM || AC ,  то есть HM – средняя линия треугольника ABC. Следовательно,  HM = ½ AC = 9.
  2)  ∠BHM = ∠A.  Тогда треугольник BHM подобен равнобедренному треугольнику BAC, следовательно,  HM = HB = 8.

Ответ

9 или 8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3321