Задача 115592

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Геометрический смысл классических неравенств.

Условие

Основания BC и AD трапеции ABCD равны a и b. Проведены четыре прямые, параллельные основаниям. Первая проходит через середины боковых сторон, вторая – через точку пересечения диагоналей трапеции, третья разбивает трапецию на две подобные, четвёртая – на две равновеликие. Найдите отрезки этих прямых, заключённые внутри трапеции, и расположите найденные величины по возрастанию.

Решение

  Для определённости будем считать, что  BC = a < b = AD.

  Пусть M и N – середины боковых сторон трапеции. Тогда MN – её средняя линия, следовательно,  MN = ½ (BC + AD) = ½ (a + b).

  Пусть прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку O пересечения диагоналей и пересекает боковые стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом  ^AD/_BC = ^b/_a,  а треугольник AOP подобен треугольнику ACB с коэффициентом  ^AO/_AC = ^b/_a+b,  значит,  OP = ^b/_a+b·BC = ^ab/_a+b.

  Аналогично  OQ = ^ab/_a+b.  Следовательно,  PQ = ^2ab/_a+b.

  Пусть прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB и CD трапеции в точках E и F соответственно и при этом трапеция BEFC подобна трапеции EADF. Тогда  BC : EF = EF : AD,  значит,  EF² = BC·AD = ab.  Следовательно,  

  Пусть прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB и CD трапеции в точках G и H соответственно и при этом трапеции BGHC и AGHD равновелики.
  Обозначим  GH = x.  Если прямые AB и CD пересекаются в точке T, то треугольник TGH подобен треугольнику TBC с коэффициентом  ^GH/_BC = ^x/_a,  треугольник TAD подобен треугольнику TBC с коэффициентом  ^AD/_BC = ^b/_a.
  Обозначим  S_TBC = S.  Тогда  S_TGH = ^x/_a·2S,  S_TAD = ^b/_a·2S,  S_BGHC = S_TGH – S_TBC = ^x/_a·2S – S,  S_AGHD = S_TAD – S_TGH = ^b/_a·2S – ^x/_a·2S.

  Из уравнения  ^x/_a·2S – S = ^b/_a·2S – ^x/_a·2S  находим, что  
  Из рисунка ясно, что самый близкий к меньшему основанию – отрезок PQ, затем EF, MN и GH.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3342