Условие
В четырёхугольнике ABCD точки M и N — середины
сторон AB и CD соответственно. Прямые AD и BC
пересекают прямую MN соответственно в точках P и Q .
Докажите, что если 
BQM = APM , то
BC=AD .
Решение
При симметрии относительно прямой MN прямая BC перейдёт в
прямую, проходящую через точку Q и образующую с прямой MN
угол, равный углу BQM , а значит, APM . Поэтому, если B'
и C' — точки, симметричные относительно MN вершинам
B и C соответственно, то B'C' || AD и B'C'=
BC .
Пусть K и L — середины отрезков BB' и CC'
соответственно. Тогда MK и NL — средние линии
треугольников ABB' и DCC' , поэтому AB' || MN
|| DC' .
Противоположные стороны четырёхугольника AB'C'D попарно
параллельны, значит, это параллелограмм. Следовательно,
AD=B'C'=BC . Что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
3348 |
