Задача 115600

Темы:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольный треугольник ABC помещены две касающиеся окружности. Одна из них касается сторон AC и BC , а вторая — сторон AB и BC . Докажите, что сумма их радиусов больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

Через вершину A проведём касательные к каждой окружности, отличные от AC и AB . Пусть они пересекают сторону BC в точках D и E , причём окружность радиуса r1 , касающаяся стороны AC , вписана в треугольник ACD , а окружность радиуса r2 , касающаяся стороны AB — в треугольник ABE . Тогда треугольники ACD и ABE покрывают треугольник ABC .
Пусть S1 и S2 — площади треугольников ACD и ABE соответственно, p1 и p2 — их полупериметры, а r , S и p — радиус вписанной окружности, площадь и полупериметр треугольника ABC . Тогда по неравенству треугольника AE<AC+EC , поэтому

AE+BE<AC+(BE+EC), AE+BE<AC+BC,

AE+BE+AB<AC+BC+AB, 2p1<2p, p1<p.
Аналогично, p2<p . Следовательно,
r1+r2=+> +=> =r.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3350