Задача 115606

Темы:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке F . Известно, что точки B , D , E и F лежат на одной окружности. Докажите, что радиус этой окружности не меньше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.

Решение

Обозначим ABC = β . Тогда

DFE = AFC = 90^o+ ABC= 90^o+,
а т.к. четырёхугольник BDFE — вписанный, то ABC+ DFE = 180^o , или β +90^o+=180^o . Отсюда находим, что β = 60^o .
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому BF — биссектриса угла DBE , значит, FBE = 30^o .
Пусть r — радиус вписаной окружности треугольника ABC , а r1 — радиус окружности, описанной около четырёхугольника DBEF . Тогда
r1 = =EF r,
т.к. F — центр вписанной окружности треугольника ABC (точка пересечения его биссектрис), а r — длина перпендикуяра, опущенного изт точки F на сторону AB . Что и требовалось доказазать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3356