Задача 115610

Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На сторонах AC и BC выбрали соответственно точки M и K так, что  BK·AB = BO²  и  AM·AB = AO².  Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

Решение

BK : BO = BO : AB,  а так как BO – биссектриса угла ABC, то  ∠OBK = ∠ABO,  поэтому треугольники BOK и BAO подобны. Значит,  ∠BOK = ∠BAO.  Аналогично  ∠AOM =  ABO,  поэтому  ∠AOM + ∠AOB + ∠BOK = ∠ABO + (180° – ∠ABO – ∠BAO) + ∠BAO = 180°.  Следовательно, точки M, O и K лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3360