Условие
В выпуклом четырёхугольнике сумма расстояний от
любой точки внутри четырёхугольника до четырёх прямых,
на которых лежат стороны четырёхугольника, постоянна.
Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Решение
Докажем сначала следующую лемму. Геометрическое место точек, расположенных
внутри данного угла, сумма расстояний от которых до сторон этого угла
равна одной и той же величине, есть отрезок, перпендикулярный биссектрисе угла.
На расстоянии, равном данной величине a , проведём прямую,
параллельную стороне OQ данного угла POQ , и пересекающую сторону
OP в точке R (рис.1). Пусть S — точка проведённой прямой, лежащая внутри
угла POQ . Тогда сумма расстояний, от любой внутренней точки угла
POQ , лежащей на биссектрисе угла ORS , до сторон OP и OQ равна a .
Обратно, если сумма расстояний от некоторой внутренней точки
N угла POQ до сторон этого угла равна a , а E и F — проекции этой
точки на прямые OP и OQ соответственно, то
NF+NE=a , NF+NH=a ,
где H — проекция точки N на прямую RS . Поэтому NE = NH .
Следовательно, точка N лежит на биссектрисе угла ORS .
Вернёмся к нашей задаче. Пусть ABCD — данный в условии четырёхугольник
(рис.2). Предположим, что прямые AB и CD пересекаются в точке K . Рассмотрим
внутри четырёхугольника такие точки X и Y , что XY перпендикулярно
биссектрисе угла AKD . Тогда по доказанной лемме суммы расстояний от X и
Y до прямых AB и CD равны, поэтому равны и суммы расстояний до
прямых BC и AD . Из леммы следует, что это может быть,
только если BC || AD (если бы прямые BC и AD пересекались,
то биссектриса образованного ими угла была бы параллельна биссектрисе угла
AKD или совпадала бы с ней). Но тогда для любой точки Z внутри
четырёхугольника ABCD , не лежащей на прямой XY , сумма расстояний до
прямых BC и AD , а следовательно, и сумма расстояний до прямых AB и
CD , была бы такой же, как и у точки X , что противоречит лемме (ГМТ
таких точек — отрезок, содержащий точку X ).
Таким образом, AB || CD . Аналогично, BC || AD . Следовательно,
ABCD — параллелограмм.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
3364 |
