Задача 115614

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике сумма расстояний от любой точки внутри четырёхугольника до четырёх прямых, на которых лежат стороны четырёхугольника, постоянна. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Решение

Докажем сначала следующую лемму. Геометрическое место точек, расположенных внутри данного угла, сумма расстояний от которых до сторон этого угла равна одной и той же величине, есть отрезок, перпендикулярный биссектрисе угла.
На расстоянии, равном данной величине a , проведём прямую, параллельную стороне OQ данного угла POQ , и пересекающую сторону OP в точке R (рис.1). Пусть S — точка проведённой прямой, лежащая внутри угла POQ . Тогда сумма расстояний, от любой внутренней точки угла POQ , лежащей на биссектрисе угла ORS , до сторон OP и OQ равна a .
Обратно, если сумма расстояний от некоторой внутренней точки N угла POQ до сторон этого угла равна a , а E и F — проекции этой точки на прямые OP и OQ соответственно, то NF+NE=a , NF+NH=a , где H — проекция точки N на прямую RS . Поэтому NE = NH . Следовательно, точка N лежит на биссектрисе угла ORS .
Вернёмся к нашей задаче. Пусть ABCD — данный в условии четырёхугольник (рис.2). Предположим, что прямые AB и CD пересекаются в точке K . Рассмотрим внутри четырёхугольника такие точки X и Y , что XY перпендикулярно биссектрисе угла AKD . Тогда по доказанной лемме суммы расстояний от X и Y до прямых AB и CD равны, поэтому равны и суммы расстояний до прямых BC и AD . Из леммы следует, что это может быть, только если BC || AD (если бы прямые BC и AD пересекались, то биссектриса образованного ими угла была бы параллельна биссектрисе угла AKD или совпадала бы с ней). Но тогда для любой точки Z внутри четырёхугольника ABCD , не лежащей на прямой XY , сумма расстояний до прямых BC и AD , а следовательно, и сумма расстояний до прямых AB и CD , была бы такой же, как и у точки X , что противоречит лемме (ГМТ таких точек — отрезок, содержащий точку X ).
Таким образом, AB || CD . Аналогично, BC || AD . Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3364