Задача 115617

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

D и E – точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со сторонами BC и AC. На биссектрису угла A опустили перпендикуляр BK. Докажите, что точки D, E и K лежат на одной прямой.

Решение

  Пусть I – центр вписанной окружности.
  Рассмотрим случай, когда точки K и I лежат по разные стороны от прямой BC. Точки K и D лежат на окружности c диаметром BI, поэтому
∠KDB = ∠KIB = 90° – ½ ∠C = ∠CDE.  Следовательно, точки D, E и K лежат на одной прямой.
  Аналогично рассматривается случай, когда точки I и K лежат по одну сторону от прямой BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3367