Задача 115618

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Прямая, параллельная медиане CM треугольника ABC, пересекается с прямыми AB, BC и AC в точках C', A' и B' соответственно.
Докажите, что треугольники AA'C' и BB'C' равновелики.

Решение

Треугольник BCM подобен треугольнику BA'C', а треугольник ACM – треугольнику AB'C', поэтому  BC' : A'C' = BM : MC = AC' : B'C'.  Значит,
BC'·B'C' = A'C'·AC',  а так как  ∠BC'B' = 180° – ∠AC'A',  то  S_AA'C' = ½ A'C'·AC' sin∠AC'A' = ½ BC'·B'C' sin∠BC'B' = S_BB'C'.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3368