Задача 115621

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найдите площадь четырёхугольника.

Ответ

14.
Пусть K , L , M и N середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD , LN=2 , KM=7 .
Отрезки KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC , поэтому KL || AC , KL=AC , MN || AC , MN=AC , значит, четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а т.к. его диагонали KM и LN перпендикулярны, то это ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т.е. S_KLMN=· 2· 7 = 7 .
Поскольку KL — средняя линия треугольника ABC , площадь треугольника KBL равна четверти площади треугольника ABC . Аналогично, площадь треугольника MDN равна четверти площади треугольника ADC , поэтому

S_{Δ KBL}+S_{Δ MDN} = S_{Δ ABC}+ S_{Δ ADC}= (S_{Δ ABC}+S_{Δ ADC})= S_ABCD.
Аналогично, S_{Δ KAN}+S_{Δ MCL} =S_ABCD . Следовательно,
S_KLMN = S_ABCD-S_{Δ KBL}-S_{Δ MDN}- S_{Δ KAN}-S_{Δ MCL}=

=S_ABCD-S_ABCD-S_ABCD= S_ABCD-S_ABCD=S_ABCD,

S_ABCD=2S_KLMN= 2· 7=14.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3371