Условие
Дан выпуклый четырёхугольник, диагонали которого
перпендикулярны и равны
a и
b . Найдите площадь
четырёхугольника с вершинами в серединах сторон
данного.
Решение
Пусть
K ,
L ,
M и
N середины сторон соответственно
AB ,
BC ,
CD и
AD выпуклого четырёхугольника
ABCD
с диагоналями
AC=a и
BD=b , причём
AC 
BD .
Отрезки
KL и
MN — средние линии треугольников
ABC
и
ADC , поэтому
KL || AC ,
KL=
AC ,
MN || AC ,
MN=AC . Две противоположные
стороны четырёхугольника
KLMN равны и параллельны, значит,
это параллелограмм, а т.к. его стороны
соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника
ABCD ,
то
KLMN — прямоугольник. Его площадь равна
произведению соседних сторон, причём
KL=AC и
LM = BD . Следовательно,
SKLMN=KL· LM = AC· BD=
a· b=
ab.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
3372 |
