Задача 115632

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность, построенная как на диаметре на меньшей боковой стороне прямоугольной трапеции, касается большей боковой стороны, равной a.
Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

  Пусть центр O окружности лежит на меньшей боковой стороне AB прямоугольной трапеции ABCD, M – середина большей боковой стороны CD.

  Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла, поэтому CO и DO – биссектрисы углов BCD и ADC, сумма которых равна 180°, значит,  ∠COD = 180° – (∠OCD + ∠ODC) = 90°.
  Средняя линия OM трапеции ABCD – это медиана прямоугольного треугольника COD, проведённая из вершины прямого угла, следовательно,
OM = ½ CD.

Ответ

^a/₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3382