Задача 115634

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника со сторонами 12, 18, 18 проведена прямая, разбивающая треугольник на части, площади которых относятся как 1:2. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника.

Решение

Пусть AB=AC=18 — боковые стороны равнобедренного треугольника ABC с основанием BC=12 , M — середина AB . Обозначим BAC=α , ABC=β . По теореме косинусов

cos α = = .
Если D — середина основания BC , то
cos β===.

Прямая, о которой говорится в условии задачи, отсекает от данного треугольника треугольник MAN , площадь которого равна третьей части площади треугольника ABC . Точка N лежит либо на боковой стороне AC (рис.1), либо на основании BC (рис.2).
В первом из этих случаев
= · = ,
значит,
= · =· 2= ,
поэтому AN = AC=· 18=12 . По теореме косинусов
MN== = .

Во втором случае
= · = ,
значит,
= · =· 2= ,
поэтому BN = BC=· 12=8 . По теореме косинусов
MN== = .

Ответ

или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3384