Задача 115639

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки D и E расположены на стороне AC треугольника ABC. Прямые BD и BE разбивают медиану AM треугольника ABC на три равных отрезка.
Найдите площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC равна 1.

Решение

  Пусть прямые AD и AE пересекают медиану AM в точках K и L соответственно, причём точка K лежит между A и L, AK = KL = LM.  Ясно, что L – точка пересечения медиан треугольника, поэтому BE – также медиана. Через вершину A проведём прямую, параллельную стороне BC, до пересечения с прямой BD в точке P. Треугольник AKP подобен треугольнику MKB с коэффициентом  ^AK/_KM = ½,  поэтому  AP = ½ BM = ¼ BC.  Треугольник ADP подобен треугольнику CDB, значит,  AD : DC = AP : BC = 1 : 4,  поэтому  AD = ⅕ AC,  DE = AE – AD = ½ AC – ⅕ AC = ³/₁₀ AC.
  Следовательно,  S_BDE = ³/₁₀ S_ABC.

Ответ

0,3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3389