Задача 115645

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть точки A , B , C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B . Из точки P , лежащей на прямой b , опущены перпендикуляры PA1 и PC1 на прямые AB и BC соответственно (точки A1 и C1 лежат на отрезках AB и BC ). Докажите, что A1C1 AC .

Решение

Из точек A1 и C1 отрезок BP виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BP . Вписанные в это окружность углы A1C1P и A1BP опираются на одну и ту же дугу, поэтому A1C1P = A1BP .
Обозначим A1C1P = A1BP = α . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

ACB = ABP= A1BP = α.
С другой стороны
A1C1C = 180^o- BC1A1 = BPA1=90^o- A1BP = 90^o-α.

Следовательно,
AСC1+ A1C1C= ACB+ A1C1C= α + 90^o-α = 90^o,
т.е. A1C1 AC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6613