Задача 115652

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка K, лежащая на биссектрисе угла BAC. Прямая CK вторично пересекает описанную окружность ω треугольника ABC в точке M. Окружность Ω проходит через точку A, касается прямой CM в точке K и пересекает вторично отрезок AB в точке P, а окружность ω – в точке Q. Докажите, что точки P, Q и M лежат на одной прямой.

Решение

  Пусть окружность Ω вторично пересекает AC в точке R. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
∠MKP = ∠PAK = ∠RAK = ∠RPK,  значит,  PR || CM .  Кроме того,  ∠QMC = ∠QAC = ∠QAR = ∠QPR.
  Итак, прямые QM и QP пересекают параллельные прямые MC и PR под одним углом (при этом лучи MC и PR сонаправлены), значит, прямые QM и QP совпадают.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6620