Задача 115654

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На стороне AB прямоугольника ABCD выбрана точка M . Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой CM , который пересекает сторону AD в точке E . Точка P — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую CE . Найдите угол APB .

Решение

Обозначим BCM = α . Тогда

BMC = 90^o-α, AME = 90^o-(90^o-α)=α, AEM = 90^o-α.
Из точек B и P отрезок CM виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CM . Вписанные в эту окружность углы BPM и BCM опираются на одну и ту же дугу, поэтому BPM = BCM = α . Аналогично докажем, что APM = 90^o-α . Следовательно,
APB = APM+ BPM = (90^o-α)+ α = 90^o.

Ответ

90^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6622