Задача 115658

Тема:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Точки M и N — середины сторон BC и AC соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол BIM — также прямой.

Решение

Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис, поэтому луч AI — биссектриса угла BAC .
Обозначим IAN = IAB = α . Поскольку MN — средняя линия треугольника ABC ,

ANM = 180^o- NAB = 180^o-2α,
а т.к. AIN = 90^o , то
ANI = 90^o- IAN = 90^o-α= ANM,
т.е. луч NI — биссектриса угла ANM . Следовательно, точка I равноудалена от прямых AB , AC , BC и MN , значит, I — центр окружности, вписанной в четырёхугольник ANMB . Тогда MI — биссектриса угла BMN , а т.к. BI — биссектриса угла ABM , то BIM = 90^o (как угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6626