Задача 115661

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность описана около равностороннего треугольника ABC . На дуге BC , не содержащей точку A , расположена точка M , делящая градусную меру этой дуги в отношении 1:2. Найдите углы треугольника AMB .

Решение

Пусть Тогда BM: CM = 1:2 .

BM = BMC = · 120^o = 40^o.
По теореме о вписанном угле
BAM = BM = 20^o,
а т.к. вписанные углы AMB и ACB опираются на одну и ту же дугу, то AMB = ACB = 60^o . Следовательно,
ABM = 180^o-20^o-60^o= 100^o.

Если же BM: CM = 2:1 , то аналогично найдём, что
BAM=40^o, AMB = 60^o ABM = 80^o.

Ответ

20^o , 60^o , 100^o или 40^o , 60^o , 80^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4371