Задача 115662

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки A , B , C и D последовательно расположены на окружности. Известно, что градусные меры меньших дуг AB , BC , CD и AD относятся как 1:3:5:6. Найдите углы четырёхугольника ABCD .

Решение

Пусть градусная мера меньшей дуги AB равна x . Тогда градусные меры последовательных дуг BC , CD и AD соответственно равны 3x , 5x и 6x . Из уравнения x+3x+5x+6x=360^o находим, что x=24^o , следовательно, градусные меры последовательных дуг AB , BC , CD и AD соответственно равны 24^o , 3· 24^o=72^o , 5· 24^o=120^o и 6· 24^o=144^o .
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, следовательно,

BAD = BCD = (72^o+120^o)=96^o, ABC = ADC= (144^o+120^o)=132^o,

BCD = BAD= (24^o+144^o)=84^o, ADC = ABC= (24^o+72^o)=48^o.

Ответ

96^o , 132^o , 84^o , 48^o

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4372