Задача 115677

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. Точки A₁ и A₂ делят на три равные части сторону AC, а точки B₁ и B₂ – сторону BC.
Докажите, что если углы A₁BA₂ и B₁AB₂ равны, то треугольник ABC равнобедренный.

Решение

  Можно считать, что точка A₁ лежит между A и A₂, а BA₁ – между B и B₂. Прямая A₁B₁ параллельна стороне AB, так как  CA₁ : CA = CB₁ : CB = 2 : 3.  Аналогично A₂B₂ || AB.
  Пусть M и N – середины отрезков AB₂ и BA₂ соответственно. Тогда MA₁ и NB₁ – средние линии треугольников AA₂B₂ и BA₂B₂, поэтому
MA₁ || A₂B₂ || AB  и  NB₁ || A₂B₂ || AB,  значит, точки A₁, M, N и B₁ лежат на одной прямой.
  Отрезок MB₁ – средняя линия треугольника ABB₂, поэтому  MB₁ = ½ AB.  Аналогично  NA₁ = ½ AB,  значит,  MB₁ = NA₁.  Треугольники AMB₁ и BNA₁ равны по стороне  (MB₁ = NA₁),  противолежащему углу  (∠MAB₁ = ∠NBA₁)  и высоте, проведённой из вершины этого угла  (AB || A₁B₁),  поэтому
AB₁ = BA₁.  Диагонали AB₁ и BA₁ трапеции AA₁B₁B равны, значит, эта трапеция равнобедренная. Следовательно, и треугольник ABC равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2568