Задача 115678

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В точках A и B пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перпендикулярны. Пусть M — произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM и BM до пересечения в точках X и Y с окружностью, содержащей M внутри себя. Докажите, что XY — диаметр этой окружности.

Решение

Пусть точка M лежит на окружности с центром O' , а точки X и Y — на окружности с центром O . Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, поэтому

MO'B=2 MAB, MO'A = 2 MBA,
значит,
AO'B = 2( MAB+ MBA) = 2( XAB+ YBA).

По условию углы OBO' и OAO' равны по 90^o , значит,
AOB = 180^o- AO'B = 180^o -2( XAB+ YBA),
поэтому
XOY = XOB + YOA + AOB = 2 XAB+2 YBA+ AOB =180^o.
Следовательно, XY — диаметр окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2569