Задача 115682

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC построены внешним образом квадраты ABDE и BCPG. Оказалось, что прямая DG параллельна прямой AC.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

Треугольники ABG и DBC равны по двум сторонами и углу между ними  (AB = BD,  BG = BC,  ∠ABG = 90° + ∠B = ∠CBD),  значит,  AG = CD.  Диагонали AG и CD трапеции ADGC равны, то есть она – равнобедренная, значит,  ∠CAD = ∠ACG.  Поэтому
∠A = ∠CAD – ∠BAD = ∠ CAD – 45° = ∠ACG – 45° = ∠ ACG – ∠BCG = ∠C.  Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2573