Задача 115684

Темы:    [ Ломаные внутри квадрата ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В квадрате ABCD на сторонах AB и CD взяты точки M и N . Отрезки CM и BN пересекаются в точке P , а отрезки AN и DM — в точке Q . Докажите, что PQ AB .

Решение

Пусть прямая, проходящая через точку P параллельно AB , пересекает отрезки BC и MN в точках P' и P" соответственно. Тогда отрезок P'P" проходит через точку пересечения диагоналей трапеции BMNC и параллелен её основаниям, значит, P — середина P'P" , а т.к. P'P" (BM+CN) , то PP' (BM+CN)
Аналогично, если прямая, проходящая через точку Q параллельно AB , пересекает отрезки MN и AD в точках Q' и Q" соответственно, то QQ' (AM+DN) . Тогда

PP'+QQ' (BM+CN)+(AM+DN)= (BM+AM+CN+DN)=(AB+CD)=AB,
а т.к. PP'+PQ+QQ' AB , то
PQ AB - PP'-QQ' =AB -AB= AB.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2575