ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115684
Темы:    [ Ломаные внутри квадрата ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате ABCD на сторонах AB и CD взяты точки M и N . Отрезки CM и BN пересекаются в точке P , а отрезки AN и DM — в точке Q . Докажите, что PQ AB .

Решение

Пусть прямая, проходящая через точку P параллельно AB , пересекает отрезки BC и MN в точках P' и P" соответственно. Тогда отрезок P'P" проходит через точку пересечения диагоналей трапеции BMNC и параллелен её основаниям, значит, P — середина P'P" , а т.к. P'P" (BM+CN) , то PP' (BM+CN)
Аналогично, если прямая, проходящая через точку Q параллельно AB , пересекает отрезки MN и AD в точках Q' и Q" соответственно, то QQ' (AM+DN) . Тогда

PP'+QQ' (BM+CN)+(AM+DN)= (BM+AM+CN+DN)=(AB+CD)=AB,

а т.к. PP'+PQ+QQ' AB , то
PQ AB - PP'-QQ' =AB -AB= AB.

Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2575

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .