Условие
В выпуклом четырёхугольнике
ABCD диагонали
AC и
BD пересекаются в точке
O . Точки
K ,
L ,
M
и
N лежат на сторонах
AB ,
BC ,
CD и
AD
соответственно, причём точка
O лежит на отрезках
KM и
LN и делит их пополам. Докажите, что
ABCD — параллелограмм.
Решение
Предположим, например, что
OC>OA . Тогда при симметрии относительно
точки
O точка
A перейдёт в точку, лежащую на отрезке
OC . Если при этом
OB 
OD , то вершина
B перейдёт в
точку, лежащую на отрезке
OD , значит, точка
M перейдёт
в точку, лежащую внутри треугольника
COD , что невозможно,
т.к. точка
M симметрична точке
K относительно
O .
Если же
OB>OD , то аналогично рассмотрим образ треугольника
AOD при симметрии относительно точки
O .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
2576 |
