Задача 115685

Тема:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O . Точки K , L , M и N лежат на сторонах AB , BC , CD и AD соответственно, причём точка O лежит на отрезках KM и LN и делит их пополам. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Решение

Предположим, например, что OC>OA . Тогда при симметрии относительно точки O точка A перейдёт в точку, лежащую на отрезке OC . Если при этом OB OD , то вершина B перейдёт в точку, лежащую на отрезке OD , значит, точка M перейдёт в точку, лежащую внутри треугольника COD , что невозможно, т.к. точка M симметрична точке K относительно O . Если же OB>OD , то аналогично рассмотрим образ треугольника AOD при симметрии относительно точки O .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2576